000627

35 Динамика вращательного движения Dynamics of rotational motion 6.1. Динамика вращательного движения. Раздел механики изучающий причины враща- тельного движения тел вокруг неподвижной оси. Законы динамики вращательного движе- ния аналогичны законам поступательного дви- жения, и включают понятия: угол поворота, мо- мент инерции, момент силы (вра-щающий мо- мент), и момент импульса. Вращательное дви- жение является не-отъемлемым компонентом функциони-рования человеческого организма. 6.1. Dynamics of rotational motion. The branch of mechanics concerned with the rotation in which an object turns about a fixed axis. The laws relating to the rotation of a body about the fixed axis are analogous to those describing linear translational motion. They are expressed in terms of angles of rotation, moment of inertia, moment of force (torque), and angular momentum. Rotational motion is an integral component of the functioning of the human body. 6.2. Момент инерции материальной точки I (кг ×м 2 ). Момент инерции частицы во враща- тельном движении является аналогом массы в поступательном движении. Его величина равна произведению массы точки m на ее расстоянии r от оси вращения: I = mr 2 . Это соотношение служит основой для нахожде- ния моментов инерции других тел, поскольку они представляют собой совокупности точечных масс. 6.2. Moment of inertia of material point I (kg × m 2 ). Moment of inertia is the name given to rotational inertia, the rotational analog of mass for linear motion. Product of the point of mass m and a distance r from the axis of rotation is defined as the moment of inertia the point: I = mr 2 . That point mass relationship becomes the basis for all other moments of inertia since any object can be built up from a collection of point masses. 6.3. Момент инерции тела I (кг ×м 2 ). Момент инерции твердого тела есть мера сопротивления его вращению вокруг фиксированной оси. Он равен сумме моментов инерции всех составляю- щих его точек. Для сплошного тела суммирова- ние заменяется интегрированием: ∫ ρ= V dVR I 2 , где ρ – плотность тела. Таким образом, момент инерции тела является свойством, зависящим от распределения его частиц вокруг оси вращения. Приведём выражения для моментов инерции тел простой формы относительно их осей симме- трии: для обруча относительно оси, перпендику- лярной его плоскости I = mR 2 ; для цилиндра I = mR 2 /2; для сплошного шара I = 2 mR 2 /5 ; для сфе- ры I = 2 mR 2 /3; для стержня относительно цен- тральной поперечной оси I = ml 2 /12; для стержня относительно его конца I = ml 2 /3 (где R – радиусы тел; m – масса тел; l – длина стержня). 6.3. Moment of inertia of body I (kg × m 2 ). Mo- ment of inertia measures the extent to which an ob- ject resists rotational acceleration about a particular axis. It is the sum of the moments of inertia of its component particles. For a body of continuous mass, the summation is replaced by integration: ∫ ρ= V dVR I 2 , where ρ is the density of the body. Thus, moment of inertia is a physical property that combines the mass and distribution of the particles around the rotation axis. By way of examples let as to take an expression of the moment of inertia for several bodies of simple forms relative positions of their symmetry “principal” axes: Thin circular loop about an axis that perpendicu- lar to its plane, I = mR 2 ; Solid cylinder I = mR 2 /2; Solid sphere I = 2 mR 2 /5 ; Hollow sphere I = 2 mR 2 /3; Rod , rotating about its center I = m l 2 /12; Rod, rotating about one end I = ml 2 /3 (where R is the radius of bod- ies; m is the mass of bodies; l is the length of the rod). 6.4. Теорема Штейнера. Если ось вращения не проходит через центр масс тела, используется Теорема Штейнера. Она связывает момент инер- ции тела I oo относительно произвольной оси вра- щ ения и его момент инерции I цм относительно параллельной оси, проходящей через центр масс: , 2 цм oo md I I + = где m – масса тела и d – расстояние между двумя осями вращения. 6.4. Parallel-axis theorem. The axis of rota- tion need not go through the centre of body’s mass. The parallel axis theorem or Steiner’s theorem re- lates the rotational inertia of a body I oo  about any axis to the moment of inertia  I cm about parallel axis passing through the body’s centre of mass: , 2 цм oo md I I + = where m is the mass of the body and d is the distance between the two rotation axes.